Лемма Лоэва.  Пусть ,   – два семейства сл. величин, ,  ,  ,  . Тогда  ,  .

Доказательство. Доказательство утверждения  опирается  на  неравенство

.

Применим к каждому слагаемому правой части неравенство Шварца (см. третье свойство ковариационных функций): ,

Далее, учитывая, что  остается ограниченной величиной при , т.к. ,

получим результат:  что означает сходимость к нулю  при

Следствие 1.  Если  , то , .

Следствие 2.  Если  , то для любой сл. величины  Y ,.

Следствие 3.  Если  , то , , .

Замечание. Если  то есть  тогда (следствие 3 леммы Лоэва). Последнее равенство с учетом первого соотношения перепишем в виде .