СВОЙСТВА КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

 

1. .

 Действительно,   

2. Матрица  является неотрицательно определенной функцией .

3., где . Нормой матрицы будем считать евклидову норму.

4. Если  непрерывна в точках , то она непрерывна во всех точках квадрата TT.

5. Пусть X(t) – некоторый процесс  и – неслучайная функция переменной t , А(t) – матричная неслучайная функция и  Тогда 

Доказательства:

1.  

Для скалярного процесса  .

2. По определению таких функциональных матриц это означает, что , , и  любых ненулевых векторов   той же размерности, что и СП X(t), .

Проверим это неравенство:   

3. Это свойство называют неравенством Коши – Буняковского. Оно следует из неравенства Шварца для математического ожидания векторных сл. величин : . Если  в неравенстве Шварца качестве ξ взять сл. величину – , в качестве η – сл. величину ,  тогда                        

       , поскольку 

Из неравенства Коши–Буняковского следует, что для существования моментов второго порядка (а значит, и первого) достаточно выполнения условия:  Процессы, имеющие конечные моменты  2 (следовательно, и 1) порядков, называются  гильбертовыми случайными процессами.

4. Оценим разность: 

                      

                                              

                            

 

                                _.

В последнем неравенстве использовано свойство 3 ковариационных матриц.

Далее     

   

        = 

       

где k – размерность процесса X(t).

По условию все слагаемые в последнем выражении имеют  пределы, равные следовательно, это последнее соотношение не превосходит ε  для любого неотрицательного ε, но тогда имеет место неравенство:

              

Это свойство может быть сформулировано следующим образом: если ковариационная матрица процесса  непрерывна на параметрическом множестве T, то на множестве непрерывной будет и ковариационная функция